基于满足Fokker-Planck-Landau (FPL)输运方程的电子分布函数矩，提出了等离子体的扩展流体动力学模型。通过将FPL方程乘以相应的权函数并在速度空间上积分，可以得到力矩方程。将矩分解为对流部分和非对流部分，利用依赖于拉格朗日乘子的最大熵分布函数得到通量和产生项的闭包关系。后者可以通过施加约束来表示状态变量，即最大熵分布函数再现被选为状态变量的矩。我们将特别关注13力矩系统。作为第一个应用，我们处理了具有温度各向异性的均匀等离子体向平衡弛豫的情况，结果表明，用动力学方程的Kogan解得到的结果很好地符合。

　　自上世纪头几十年以来，等离子体中的碰撞问题得到了广泛的研究，始于1936年朗道的开创性工作[9]。等离子体物理中带电粒子间的二元碰撞是由远距离库仑相互作用引起的，并通过不同的算符进行建模，具有不同的物理特征和数学结构[9,10,20]。没有波粒共振时的库仑相互作用可以用朗道积分算子[9]很好地描述，它是一种非线性、积分-微分、Fokker-Planck型算子，满足熵增长的h定理[7]。

　　一般认为，在弱碰撞等离子体中，如太阳风，碰撞太弱，不会对等离子体动力学产生任何显著影响。然而，为了考虑粒子加热和随之而来的熵增长，碰撞方法似乎是必要的[11,14,16]。事实上，由于h定理，热化是唯一由碰撞引起的，碰撞会产生一般热力学意义上的加热。

　　动力学方法的主要困难是(FPL)方程的数值解需要巨大的计算成本。一种可能的策略是用Dougherty算子取代Landau碰撞算子，Dougherty算子是一种非线性的Fokker-Planck型微分算子，它需要的计算量要轻得多[5]。Landau和Dougherty碰撞算符的比较可以在[16,17,18]中找到。

　　在本文中，我们建议采用Grad在气体动力学[6]中使用的替代方法，该方法通过基于最大熵原理(MEP)的闭合关系的13力矩系统近似动力学模型[13]。该原理已成功地应用于物理和应用数学的其他领域，如辐射流体动力学[12]和半导体中的电荷和能量输运[1,2,3,15]。这种方法的主要优点是，尽管使用了朗道算子，但与动力学方程的数值近似相比，它的解需要的计算成本要低得多。

　　本文的主要目的是从FPL方程与Maxwell方程耦合推导出一般矩系，并强调了应用最大熵原理获得额外矩和碰撞算子矩闭包关系的一般程序。进一步，我们将上述方案专门化到13矩系统，在这种情况下，我们显式地计算了闭包关系。为了检验模型的有效性，我们解析求解了具有温度各向异性的均匀等离子体向平衡弛豫的情况[16]，并将结果与Kogan[8]提出的动力学方程的特解给出的结果进行了比较。

　　本文的组织如下:在第2节中，我们引入了FPL方程与Maxwell方程的耦合，并找到了电子分布函数f的矩与微观速度张量积的权函数的演化方程。在第3节中，我们定义了内部矩，因为它们的演化方程更适合在MEP的基础上闭合。在第4节中，我们考虑了具有直接物理意义的13个矩的情况，通过在各向异性的一阶上展开MEP分布函数，显式地计算了额外通量和产生项的闭包关系。最后，在第5节中，我们利用数值测试来检验小各向异性近似在多大程度上给出了良好的结果，并将它们与Kogan解[8]给出的结果进行了比较，在具有温度各向异性的均匀等离子体向平衡方向弛豫的情况下。

　　从动力学的观点来看，等离子体中电子的动力学是用它们的分布函数来描述的。这个函数表示在基本体积中，围绕位置和速度，时刻t的电子密度。分布f满足Fokker-Planck-Landau (FPL)输运方程与自一致Maxwell方程耦合:

　　(1) (2) (3) (4) (5)

　　这里采用重复指标和的爱因斯坦约定，q为载流子的电荷(带符号)，为载流子速度，为电场，为电势，为磁场，为介电常数，为磁导率，n为载流子数密度(浓度)，为电荷平均速度。算子给出了由于碰撞导致的f的时间变化率，素数表示在的求值，如。因此，(1)是一个七自变量非线性积分微分方程。

　　碰撞算子的一个重要性质是物理上相关的碰撞不变量的存在性:

　　(6）

　　这个性质意味着载流子数密度、平均动量和平均能量守恒。

　　的另一个性质是h定理的存在性，可以表示为:

　　(7) (8)

　　T是温度，m是粒子质量。这个性质建立了熵的存在性，即，和平衡分布的存在性，即系统的移位麦克斯韦量。

　　通过引入分布函数的矩，相应选择合适的权函数，可以得到FPL方程的宏观模型。最常见的选择之一是将微观速度的张量积作为权函数，它给出以下力矩

　　(9）

　　前几个矩有一个直接的物理解释，即M是数密度，是动量密度，是能量密度，是动量通量，是能量通量。这些矩的演化方程可以很容易地通过将式(1)乘以并积分得到，并对f as有一个合适的消失条件。这样做，你就得到了

　　（10）

　　和

　　生产术语，以及三维列维-奇维塔符号。式(10)中的括号表示它们所包含的指标的对称性。这样，只有四个自变量，但系统是无限的。人们需要在有限阶N处截断系统，但结果系统不是封闭的，因为出现了额外的变量，即生产项和通量。

　　这些额外的变量需要本构方程，可以利用MEP得到。

　　对于与的矩的系统，MEP指出，在保留前导矩(9)的约束下，可以使用使熵最大化的分布函数来评估额外矩和矩的闭包关系[13]。由于在[19]中已经证明，熵不依赖于平均速度，因此引入所谓的内部或非对流矩是方便的，其定义如下:

　　其中是速度的随机分量。

　　同样，在这种情况下，第一阶矩有一个特殊的解释，即，与比内能和压强p有关，与压强张量和热流有关。

　　通过关系可以表明[19]，内部矩与旧矩是相关的

　　(11)

　　式中为所有考虑到的矩的向量，为对应的内部矩的向量，与，而为下式矩阵:

　　下面的下标是列下标上面的下标是行下标。上面写的关系可以直接从和的定义中检索。然而(11)将所有张量状态量与它们在局部静止坐标系中的评价联系起来，如果这些量的演化演化方程是伽利略不变的[19]，就像分布函数的矩一样。

　　将式(11)代入式(10)可得到内矩的演化方程，得到

　　（12）

　　Where，带有明显的and的意思。

　　此时，为了得到必要的本构关系，第一步是求出熵密度的极值

　　在约束条件下

　　（13）

　　解由

　　(14)

　　拉格朗日乘数的物理解释遵循广义吉布斯关系

　　这是MEP的结果[13]。

　　将(14)插入约束(13)并求解关于拉格朗日乘子的结果方程，原则上可以将ME分布表示为矩的函数。最后，将得到的结果代入定义了额外变量的积分中，就可以得到所需要的本构关系。实际上，一般来说，反演只能在数值上完成;但是，如果系统离局部平衡不太远，具有轻微的各向异性，则可以在拉格朗日乘子的局部平衡值周围展开ME分布(14)，从而简化反演。在一阶上，扩展与广泛应用于扩展热力学的Grad分布密切相关。在下一节中，我们将在使用13个矩的特殊情况下介绍这个过程，这些矩具有直接的物理解释。

　　在本节中，当将具有直接物理解释的前13个力矩作为状态变量时，我们将显式地编写力矩系统，包括闭包关系。我们回想一下，这些力矩如下:，，，和，它们分别对应于权函数，与。对应的矩系，以保守形式书写，可方便地从式(12)中检索并读取

　　(15) (16) (17) (18)

　　额外通量和碰撞项需要闭包关系:

　　(19) (20)

　　其中，最大熵分布函数为:

　　(21）

　　而拉格朗日乘子可以通过对约束条件进行反求得到

　　(22) (23)

　　所得到的13矩系统(15)-(18)是一个可对称的双曲系统，与泊松方程耦合。

　　为了反转约束，我们考虑张量的无迹部分，定义为和，回忆一下，我们写。我们注意到和是与权重和相关的力矩。则最大熵分布函数为

　　(24)

　　与。我们通过假设小的各向异性拉格朗日乘子，，，来引入各向同性矩n和各向异性矩，，，，之间的区别。然后，在各向异性的一阶，ME函数为

　　（25)

　　与

　　将式(25)代入约束关系中，即可得到

　　定义和调用这两个属性

　　式中为的单位球，为立体角的元素，为函数;就有可能用拉格朗日乘子解出之前的方程组

　　这些结果是单原子气体扩展热力学的典型一阶近似。众所周知，在文献中，这会导致系统的双曲区域减小，如果使用二阶近似，则会得到改善[4]。如前所述，小各向异性的假设可以通过数值反演约束来消除，这将需要额外的计算工作。我们计划在以后的论文中做这个。

　　解析求解了小各向异性假设下的约束条件后，可以通过插入近似表达式求出本构关系

　　（26）

　　转化成额外变量的积分表达式。

　　对于额外的通量，很容易得到

　　由于碰撞算子的表达式，产生项的计算比较复杂。我们首先注意到，碰撞算子的核满足以下条件

　　而且，在一阶，我们有

　　(27)

　　与

　　用一般权函数表示，对应的生产项为

　　我们利用了在无穷远处的行为改变了积分的一半的作用。利用性质1和(27)，有

　　因此，通用生成项可以写成如下:

　　这个表达式可以进一步简化，如果我们区分是偶函数还是奇函数。实际上，用和分别表示偶函数和奇函数，我们有

　　在13矩模型中，需要计算的生产项为:C、、、、。我们可以直接看出，前两者和后两者由于性质一的结果而一起消失了。这与粒子间碰撞的粒子数守恒、动量守恒和能量守恒是一致的。因此，待计算的碰撞项为和，第一个是偶函数，第二个是奇函数。经过一些代数运算和代换，我们发现

　　其中，。如果在关于1的积分中使用与z轴平行的坐标系1作为参照系，上述积分可以显式计算得到

　　(28) (29)

　　可以看到，经过冗长而繁琐的计算，闭包关系具有非常简单的显式表达式。

　　最终系统如下:

　　(30) (31) (32) (33)

　　式(32)可代入以下式

　　(34) (35)

　　在哪里。

　　摘要

　　1 介绍

　　2 福克-普朗克-朗道方程和矩方程

　　3.内部矩和最大熵原理闭包

　　4 13矩模型

　　5 数值试验

　　6 结论

　　改变历史

　　参考文献

　　致谢

　　作者信息

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　　#####

　　从现在开始，时间按比例缩放到反向等离子体频率，长度按比例缩放到德拜长度，速度按比例缩放到热速度，电子密度和所有其他物理量都将使用这些特征参数进行缩放。在本节中，通过与动力学模型[8]获得的结果进行比较，我们利用数值试验来检验在具有温度各向异性的均匀无场等离子体向平衡方向弛豫的情况下，小各向异性近似在多大程度上给出了良好的结果。因此，在微观层面上，电子态可以用双麦克斯韦分布函数来描述:

　　（36）

　　这里，下标||表示z方向，而x和y是垂直的()方向。我们定义t时刻的温度各向异性为。假设在碰撞弛豫过程中，分布函数保持双麦克斯韦式，并考虑总温度随时间保持恒定，则分布的演化由的演化决定。

　　的进化方程由Kogan[8]发现，为

　　（37)

　　是由:给出的热化频率:

　　的时间和地点

　　式(37)的解可以用数值方法确定。

　　为了得到本文模型所给出的相应的演化方程，首先我们需要展开小各向异性的双麦克斯韦方程组，得到

　　其中是温度逆张量的迹，对if和else展开。之后，将此扩展与MEP分布(26)进行比较，取和，我们发现

　　(38)

　　现在，我们要写出力矩系统在没有空间依赖和场存在的情况下。得到的系统如下:

　　(39) (40) (41) (42) (43)

　　我们得到n是常数，和。如果速度和热流通量设为零，我们仍然使用方程:

　　(44)

　　在哪里

　　因此，通过求解该方程并使用(38)，我们发现

　　与

　　在图1和图2以及图3的左侧，我们比较了两种模型的结果，在案例30中。我们可以看到，宏观(ME)模型的结果与动力学模型的结果非常吻合，其最大相对误差约为1%，如图4所示。更糟糕的是，最大相对误差从3.4%左右迅速增加到47%左右，见图4。

　　图1

　　

　　作为时间的函数，对于(左)和(右)

　　图2

　　

　　作为时间的函数，对于(左)和(右)

　　图3

　　

　　左:作为时间的函数，为。右:ME模型相对于动力学模型的相对误差

　　图4

　　

　　的不同值下，宏观模型相对于动力学模型的最大相对误差

　　这种不同的行为可以通过观察两个模型的右侧的趋势来解释，如图5的左侧所示。可以看出，这两个生产函数非常接近。可以注意到，ME模型很好地超出了小各向异性的限制，在本例中，这与逆温度张量的无迹部分的小有关，该部分与。实际上，从图5的右侧可以看出，在较小的地方，其邻域要比ME模型与动力学模型结果吻合较好的地方窄得多。

　　图5

　　

　　左边:作为函数的右边。右图:趋势

　　在本文中，我们描述了一个一般的程序，以获得一个基于物理的闭包，从等离子体的FPL输运方程导出的矩方程，具有任意数量的矩。特别地，我们明确地写出了13矩的本征矩模型，并在具有各向异性温度的均匀无场等离子体的情况下对其进行了测试，得到的结果与FPL方程给出的结果非常吻合。这一一致暗示了所提出的宏观模型，相对于动力学模型需要更少的计算工作量，即使在三维空间几何中，也可以使存在碰撞的等离子体的自洽模拟负担得起。这将是未来一篇论文的研究对象。

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